REPRESENTASI MATEMATIS DAN
BERPIKIR LOGIS MATEMATIS
MAKALAH
Diajukan
untuk memenuhi
salah
satu
tugas
matakuliah Model Pembelajaran Matematika pada semester genap
tahun akademik 2015/2016
dengan dosen pembimbing Maulana,
M.Pd.
Disusun
oleh :
Kelompok 1
Semester 6 Kelas 3D
1.
Trisna
Nugraha (No. Absen/NIM : 47 / 1307502)
2.
Annisa
Listiorini (No. Absen/NIM : 13 / 1306136)
3.
Tera
Lawina Darajat (No. Absen/NIM : 31 / 1306522)
4.
Maharani
Larasati P. (No. Absen/NIM : 46 / 1307346)
PROGRAM STUDI
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH
DASAR
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KAMPUS SUMEDANG
2016
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah
yang berjudul “Representasi
Matematis dan Berpikir Logis Matematis” tepat pada waktunya. Rasa hormat dan ucapan terima
kasih kami ucapkan kepada Bapak Maulana, M.Pd., selaku dosen pengampu
matakuliah Model Pembelajaran Matematika atas ilmu, bimbingan,
motivasi, dan saran yang diberikan selama perkuliahan. Makalah ini akan
membahas mengenai kemampuan representasi
matematis dan berpikir logis matematis sebagai goals atau perilaku yang harus diperoleh peserta didik dalam pembelajaran matematika.
Dalam menyelesaikan makalah ini, kami
mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami
mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Ayahanda dan Ibunda yang telah memberikan do’a serta dukungan baik secara
moril maupun materiil, sehingga makalah ini dapat terselesaikan dengan baik.
2.
Bapak Maulana, M.Pd. selaku dosen pengampu matakuliah Model Pembelajaran
Matematika.
Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih
terdapat banyak kekurangan baik dari segi materi, tata bahasa, penulisan kalimat, maupun kajian teori. Oleh karena itu kami menerima kritik dan
saran yang membangun dari para pembaca agar kami dapat memperbaikinya. Semoga
makalah ini dapat bermanfaat bagi kelompok kami khususnya dan bagi para pembaca
umumnya.
Akhir kata kami ucapkan terima kasih.
Sumedang, 28
April 2016
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.................................................................................... i
DAFTAR ISI....................................................................................................
ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang Masalah...................................................................
1
1.2 Rumusan
Masalah............................................................................
2
1.3 Tujuan
Pembahasan..........................................................................
3
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Definisi
Representasi Matematis...................................................... 4
2.2 Landasan
dan Alasan Kemampuan Representasi Matematis dalam Pembelajaran Matematika 6
2.3 Jenis-jenis
Representasi Matematis.................................................. 7
2.4 Indikator
Kemapuan Representasi Matematis.................................
9
2.5 Contoh
Soal Pengembangan Kemampuan Representasi Matematis 10
2.6 Pengertian
Kemampuan Berpikir Logis Matematis..........................
11
2.7 Komponen
Kemampuan Berpikir Logis Matematis.........................
13
2.8 Indikator
Kemampuan Berpikir Logis Matematis............................
13
2.9 Contoh
Soal Untuk Mengembangkan Kemampuan Berpikir Logis Matematis 14
BAB III PENUTUP
3.1 Simpulan...........................................................................................
16
3.2 Saran.................................................................................................
16
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................
18
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar
Belakang Masalah
Belajar pada hakikatnya adalah suatu proses
interaksi terhadap situasi dan lingkungan yang berada di sekitar individu.
Belajar sendiri dilakukan agar terjadi perubahan perilaku sebagai tujuan dan proses
berbuat melalui pengalaman. Perubahan yang dimaksud hendaknya terjadi sebagai
akibat interaksi dengan lingkungannya. Konsep belajar, mengajar dan pengajaran melahirkan
suatu konsep yakni pembelajaran yang merupakan salah satu upaya interaksi
antara pendidik dengan peserta didik untuk mencapai tujuan pembelajaran. Dengan
demikian pembelajaran matematika dapat didefinisikan sebagai suatu interaksi
antara pendidik dan peserta didik yang dilakukan secara sadar dan dilakukan
dengan tujuan peserta didik dapat memahami konteks metamatika yang diajarkan.
Setiap kegiatan pembelajaran mempunyai sasaran atau
tujuan. Tujuan itu bertahap dan berjenjang dimulai dari tujuan yang sangat
operasional dan konkret meliputi tujuan pembelajaran khusus, tujuan
pembelajaran umum, tujuan tujuan kurikuler dan tujuan nasional sampai pada
tujuan yang bersifat universal. Sasaran tersebut harus diterjemahkan ke dalam
ciri-ciri perilaku kepribadian yang didambakan seperti representasi matematis
dan berpikir logis matematis.
Peserta didik dibentuk agar memiliki kompetensi yang
diharapkan sesuai dengan standar nasional pendidikan. Adapun tujuan
pembelajaran matematika adalah melatih dan menumbuhkan cara berpikir secara
sistematis, logis, kritis, kreatif dan konsisten serta mengembangkan sikap
gigih dan percaya diri dalam menyelesaikan masalah (Depdiknas, 2003). Sedangkan
menurut NCTM (2000) tujuan pmbelajaran matematika diantaranya adalah
mengembangkan kemampuan komunikasi matematis, penalaran matematis, pemecahan
masalah matematis, koneksi matematis dan representasi matematis. Agar tujuan
itu dapat tercapai maka semua komponen pembelajaran harus diorganisasikan
dengan baik sehingga saling bekerjasama.
Guru harus mampu menciptakan pembelajaran matematika
yang efektif dan efisien serta tidak memperlakukan matematika sebagai kumpulan
konsep dan prosedur yang terisolasi melainkan sebagai hubungan antar konsep,
ide matematika dan aplikasinya. Dalam menyikapi beberapa hal tersebut, selain diperlukan
inovasi dan variasi pembelajaran dari guru juga memerlukan pengetahuan serta
pemahaman mengenai kompetensi yang ditargetkan dalam pembelajaran matematika sehingga
pembelajaran matematika dapat dilakukan secara sistematis dan terarah sesuai
tujuan. Hal tersebut dikarenakan kompetensi dasar matematika yang
diklasifikasikan dalam beberapa aspek atau proses matematis sebagai tujuan dari
pembelajaran diketahui oleh guru dan dapat dicapai secara optimal, sehingga
peserta didik memiliki kemampuan berpikir tingkat tinggi yang memang seharusnya
dimiliki oleh setiap peserta didik setelah mengikuti pembelajaran matematika
termasuk kemampuan berpikir logis matematis dan representasi matematis.
1.2
Rumusan
Masalah
Berdasarkan
pemaparan latar belakang di atas, penulis dapat menyimpulkan beberapa rumusan
masalah yaitu sebagai berikut ini.
1.2.1
Apa yang dimaksud dengan representasi matematis dalam
pembelajaran matematika?
1.2.2
Apa yang menjadi landasan dan alasan kemampuan representasi
matematis dalam pembelajaran matematika?
1.2.3
Apa saja jenis-jenis representasi matematis dalam
pembelajaran matematika?
1.2.4
Apa yang menjadi indikator kemampuan representasi matematis
dalam pembelajaran matematika?
1.2.5
Bagaimana contoh soal dalam pengembangan kemampuan
representasi matematis dalam pembelajaran matematika?
1.2.6
Apa yang dimaksud dengan berpikir logis matematis?
1.2.7
Apa saja yang termasuk ke dalam komponen kemampuan berpikir
logis matematis?
1.2.8
Apa saja yang menjadi indikator dari kemampuan berpikir
logis matematis?
1.2.9
Bagaimana contoh soal untuk mengembangkan kemampuan berpikir
logis matematis?
1.3
Tujuan
Pembahasan
Adapun
beberapa tujuan yang dapat diketahui di dalam penulisan makalah ini di
antaranya sebagai berikut.
1.3.1
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai definisi konsep
representasi matematis dalam pembelajaran matematika.
1.3.2
Untuk memberikan gambaran mengenai landasan dan alasan representasi
matematis dalam pembelajaran matematika.
1.3.3
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai jenis-jenis
representasi matematis dalam pembelajaran matematika.
1.3.4
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai indikator
kemampuan representasi matematis.
1.3.5
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai contoh soal
pengembangan kemampuan representasi matematis.
1.3.6
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai definisi konsep
berpikir logis matematis dalam pembelajaran matematika.
1.3.7
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai komponen
berpikir logis matematis?
1.3.8
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai indikator dari
kemampuan berpikir logis matematis?
1.3.9
Untuk memberikan gambaran serta informasi mengenai contoh soal
untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis matematis?
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Definisi
Representasi Matematis
Kemampuan
representasi matematis merupakan salah satu tujuan umum dari pembelajaran
matematika di sekolah dasar. Kemampuan ini sangatlah penting bagi peserta didik
dan sangat erat kaitannya dengan kemampuan komunikasi dan pemecahan masalah
matematik. Menurut Sabirin (2014, hlm. 33) representasi adalah bentuk
interpretasi pemikiran siswa terhadap suatu masalah, yang digunakan sebagai
alat bantu untuk menemukan solusi dari masalah tersebut. Dari hal tersebut
terdapat beberapa bentuk interpretasi peserta didik yakni dapat berupa
kata-kata verbal, tulisan, gambar, tabel, grafik, benda konkrit dan simbol
matematika dan lain-lain. Dengan demikian beberapa bentuk representasi tersebut
dapat mempermudah proses pemecahan masalah matematis dan juga dapat digunakan
sebagai alat komunikasi matematis.
Representasi
matematis telah banyak dibahas dalam beberapa jurnal pendidikan matematika
ataupun penelitian lainnya. Adapun beberapa definisi yang telah dikemukakan
oleh para ahli berkenaan dengan representasi matematis diantaranya yaitu
sebagai berikut.
2.1.1. Goldin
(dalam Yudhanegara dan Lestari, 2014, hlm. 77) mengemukakan bahwa representasi
adalah suatu konfigurasi yang dapat menyajikan suatu benda dengan suatu cara.
Representasi matematis disini mempunyai peranan dan menjadi elemen yang sangat
penting dalam teori belajar mengajar matematika, hal tersebut dimaksudkan tidak
hanya karena pemakaian sistem simbolis yang juga penting dalam matematika dan
kaya akan kalimat dan kata, beragam dan universal tetapi juga karena matematika
mempunyai peranan penting dalam mengkonseptualisasi dunia nyata dan matematika
membuat homomorphis yang merupakan penurunan dari struktur hal-hal lain yang
pokok.
2.1.2. Representasi
matematis menurut NCTM / National Council
of Teacher of Mathematics (dalam Yudhanegara dan Lestari, 2014, hlm. 77)
yaitu “representing involves translating
a problem or an a new form, representing includes the translation of a diagram
or physical model into symbol or words, representing is also used in
translating or analyzing a verbal problem to make its meaning clear”. Jika
diterjemahkan kedalam bahasa Indonesia maka representasi matematis yaitu proses
representasi melibatkan penerjemahan masalah atau ide ke dalam bentuk baru,
proses representasi termasuk pengubahan diagram atau model fisik ke dalam
simbol atau kata dan proses representasi juga dapat digunakan dalam
menterjemahkan atau menganalisis masalah verbal untuk membuat maknanya menjadi
lebih jelas.
2.1.3. Pepe
dan Tchoshanov (dalam Nurhayati, 2013) mengemukakan bahwa terdapat empat
gagasan yang digunakan dalam memahami konsep representasi, pertama representasi
dapat dipandang sebagai abstraksi internal dari ide matematis atau skemata
kognitif yang dibangun oleh peserta didik melalui pengelaman. Kedua sebagai
reproduksi mental dari kedaan mental dari keadaan mental yang sebelumnya.
Ketiga sebagai sajian secara struktural melalui gambar, simbol ataupun lambang.
Sedangkan yang keempat sebagai pengetahuan tentang sesuatu yang mewakili
sesuatu yang lain.
2.1.4. Cai,
Lane dan Jacabsin (dalam Trisniawati, 2013) representasi merupakan cara yang
digunakan seseorang untuk mengkomunikasikan jawaban atau gagasan matematik yang
bersangkutan.
2.1.5. Steffe,
dkk. (dalam Trisniawati, 2013) representasi merupakan proses yang dimiliki
seseorang yang terungkap dan divisualisasikan dalam berbagai model matematika
yakni verbal, gambar, benda konkret, tabel, model-model manipulative atau
kombinasi dari semuanya.
2.1.6. Lebih
sederhana lagi Kalatil dan Sherin (dalam Kartini, 2009, hlm. 362) mengungkapkan
bahwa segala sesuatu yang dibuat siswa untuk mengeksternalisasikan dan
memperlihatkan kerjanya disebut representasi.
Dengan
demikian representasi matematis dapat disimpulkan sebagai ungkapan dari suatu
ide matematika baik itu masalah, pernyataan, definisi dan lainnya yang
ditampilkan atau dicurahkan melalui berbagai macam bentuk yang dipilih oleh
peserta didik sebagai bentuk yang mewakili situasi masalah guna menemukan
solusi dari masalah tersebut dari hasil interpretasi pemikirannya. Kemampuan
representasi matematika ini dapat mendukung peserta didik dalam memahami konsep
matematika yang dipelajari lengkap dengan keterkaitannya dengan kehidupan atau
materi lainnya. Selain itu representasi matematis juga digunakan sebagai alat
dalam komunikasi matematis.
2.2
Landasan
dan Alasan Kemampuan Representasi Matematis Dalam Pembelajaran Matematika
Representasi
matematis dalam pembelajaran matematika perlu dimiliki oleh peserta didik
setelah melakukan pembelajaran matematika sebagai sikap atau keterampilan yang
diharapkan melalui pembelajaran matematika. Hal tersebut dikarenakan tujuan
pembelajaran matematika telah mengalami perubahan yakni tidak hanya menekankan
pada peningkatan hasil belajar atau aspek kognitif saja melainkan juga diharapkan
dapat meningkatkan beberapa kemampuan. Menurut NCTM (dalam Fadillah, 2008)
tujuan pembelajaran matematika untuk mengembangkan kemampuan komunikasi
matematis (mathematical communication),
penalaran matematis (mathematical
reasoning), pemecahan masalah matematis (mathematical problem solving), koneksi matematis (mathematical connections) dan representasi matematis (mathematical representation). Kemampuan representasi matematis
merupakan salah satu kemampuan yang diharapkan dapat dikembangkan dalam pembelajaran
matematika.
Menurut
Jones (dalam Sabirin, 2014, hlm. 35) beberapa alasan penting yang mendasari
kemampuan representasi matematis sebagai salah satu dari standar proses dalam
pembelajaran matematika diantaranya yaitu sebagai berikut.
2.2.1
Kelancaran dalam melakukan translasi
diantara berbagai bentuk representasi beebeda, merupakan kemampuan mendasar
yang perlu dimiliki siswa untuk membangun konsep dan berpikir matematis.
2.2.2
Cara guru dalam menyajikan ide-ide
matematika melalui berbagai representasi akan memberikan pengaruh yang sangat
besar terhadap pemahaman siswa dalam mempelajari matematika.
2.2.3
Siswa membutuhkan latihan dalam
membangun representasinya sendiri sehingga memiliki kemampuan dan pemahaman
konsep yang kuat dan fleksibel yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah.
Pencantuman representasi matematis
sebagai salah satu komponen standar proses dalam Principles and Standards for School Mathematics cukup beralasan
dikarenakan bahwa untuk berpikir matematika dan mengkomunikasikan ide tentunya
memerlukan berbagai cara dalam mempresentasikannya. Selain itu objek matematika
yang bersifat abstrak merupakan salah satu alasan bahwa untuk mempelajarinya memerlukan
representasi. Sebagai salah satu standar proses maka NCTM (dalam Sabirin, 2014)
menetapkan standar representasi yang diharapkan dapat dikuasai siswa selama
pembelajaran di skeolah yaitu sebagai berikut.
2.2.1
Membuat dan menggunakan representasi
untuk mengenal, mencatat atau merekam dan mengkomunikasikan ide-ide matematika.
2.2.2
Memilih, menerapkan, dan melakukan
translasi antar representasi matematis untuk memecahkan masalah.
2.2.3
Menggunakan representasi untuk
memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, sosial dan fenomena
matematika.
Dengan demikian diharapkan dalam
pembelajaran matematika peserta didik dapat memiliki dan mengembangkan
kemampuan representasi matematisnya. Adapun beberapa manfaat yang dapat
diperoleh dari kemampuan representasi matematis dalam pembelajaran matematika
diantaranya yaitu memberikan informasi kepada guru mengenai bagaimana siswa
berpikir terhadap suatu konteks atau ide matematika, menginformasikan pola dan
kecenderungan pemahaman peserta didik secara keseluruhan, dan dapat dijadikan
sebagai alat bantu dalam proses pembelajaran.
2.3
Jenis-jenis
Representasi Matematis
Representasi
matematis dibagi menjadi beberapa jenis. Hiebert dan Carpenter (dalam
Nurhayati, 2013, hlm. 16) mengemukakan bahwa pada dasarnya representasi dapat
dinyatakan sebagai representasi internal dan eksternal. Berpikir tentang ide
matematis yang kemudian dikomunikasikan memerlukan representasi eksternal yang
wujudnya antara lain verbal, gambar, simbol tertulis ataupun benda
konkret/objek fisik dan lain sebagainya. Sedangkan berpikir tentang ide
matematis yang memungkinkan pikiran seseorang bekerja atas dasar ide tersebut
merupakan representasi internal yakni suatu jenis representasi matematis yang
tidak dicurahkan atau diungkapkan hanya berupa suatu pemikiran atau aktivitas
mental dalam otak yang ditujukan untuk memecahkan permasalahan sehingga tidak
bisa secara langsung diamati. Walaupun demikian representasi internal dapat
diduga berdasarkan representasi eksternal dalam berbagai kondisi sehingga
terjadi hubungan timbal balik antara representasi eksternal dan internal ketika
dihadapkan pada suatu masalah sebagai suatu penyelesaian.
Schnotz
(dalam Kartini, 2009, hlm. 365) membagi representasi eksternal dalam dua kelas
yang berbeda yaitu representasi descriptive
dan depictive. Representasi descriptive sendiri terdiri dari simbol
yang mempunyai struktur sembarang dan dihubungkan dengan isi yang dinyatakan
secara sederhana dengan makna dari suatu konvensi yakni teks. Sedangkan
representasi depictive meliputi
tanda-tanda ikonik yang dihubungkan dengan isi yang dinyatakan melalui fitur
structural yang umum secara konkret atau pada tingkat yang lebih abstrak yaitu
display visual seperti diagram, gambar dan lain sebagainya.
Adapun
pendapat lainnya yang lebih mengerucut dikemukakan oleh Gagatsis dan Elia
(dalam Kartini, 2009, hlm. 365) bahwa untuk siswa kelas 1, 2, dan 3 (kelas
rendah) sekolah dasar, representasi dapat digolongkan menjadi empat tipe yaitu
representasi verbal, gambar informational,
gambar decorative, dan garis bilangan.
Jika dihubungkan maka representasi verbal termasuk kedalam represensati descriptive sedangkan yang lainnya
termasuk kedalam representasi depictive.
Namun untuk membedakan antara representasi gambar informational dan gambar decorative
yaitu bahwa gambar informational menyajikan
informasi penting untuk penyelesaian masalah itu didasarkan pada gambar seperti
bagan, diagram dan lain sebagainya. Sedangkan gambar decorative tidak menyediakan setiap informasi pada siswa untuk
menemukan solusi masalah tetapi hanya sebagai penunjang.
Shield
dan Galbraith (dalam Trisniawati, 2013) menyatakan bahwa siswa dapat
mengkomunikasikan penjelasan-penjelasan mereka tentang strategi matematika atau
solusi dalam bermacam cara yaitu secara simbolis (numerik dan atau simbol
aljabar), secara verbal, dalam diagram, grafik, atau dengan tabel data. Lebih
jelasnya lagi Lesh, Post, dan Behr (dalam Kartini, 2013, hlm. 366) membagi
representasi yang digunakan dalam pendidikan matematika dalam lima jenis,
meliputi representasi objek dunia nyata, representasi konkret, representasi
simbol aritmatika, representasi bahasa lisan atau verbal dan representasi
gambar atau grafik. Dari kelima hal tersebut maka representasi aritmatika,
bahasa lisan atau verbal dan gambar atau grafik merupakan tingkat representasi
yang lebih tinggi dalam memecahkan masalah matematika.
Melihat
beberapa jenis atau penggolongan dari representasi matematis tersebut maka
dapat ditarik kesimpulan bahwa pada dasarnya representasi dapat digolongkan
menjadi tiga bagian yakni representasi visual (gambar, diagram, grafik atau
tabel), representasi simbolik (pernyataan atau notasi matematik, numerik atau
simbol aljabar) dan representasi verbal (teks tertulis berupa kata-kata). Semua
jenis representasi tersebut dapat diimplementasikan secara terpadu dalam satu
masalah matematik atau biasa disebut dengan representasi beragam matematik atau
multiple representasi.
2.4
Indikator
Kemampuan Representasi Matematis
Berdasarkan
jenis representasi yang dikemukakan oleh Hiebert dan Carpenter yakni membagi
representasi menjadi dua jenis yaitu representasi internal dan eksternal. Maka
representasi dalam pembelajaran matematika terutama representasi eksternal
dapat diukur ketercapaiannya. Menurut Amri (dalam Nurhayati, 2013, hlm. 16)
beberapa bentuk operasional yang dapat dijadikan sebagai indikator dalam
menggambarkan representasi matematis dapat dijabarkan sebagai berikut ini.
2.4.1
Visual, berupa diagram, grafik, tabel
atau gambar.
1) Menyajikan
kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram,
grafik, atau tabel.
2) Menggunakan
representasi visual untuk menyelesaikan masalah.
3) Membuat
gambar pola-pola geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi
penyelesaian.
2.4.2
Persamaan atau ekspresi matematis.
1) Membuat
persamaan atau model matematik dari representasi lain yang diberikan.
2) Membuat
konjektur dari pola suatu bilangan.
3) Penyelesaian
masalah dengan melibatkan ekspresi matematik.
2.4.3
Kata-kata atau teks tertulis.
1) Membuat
situasi masalah berdasarkan data atau representasi yang diberikan.
2) Menulis
interpretasi dari suatu representasi.
3) Menulis
langkah-langkah penyelesaian masalah matematik dengan kata-kata.
4) Menyusun
cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan.
5) Menjawab
soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.
Dari beberapa indikator yang telah
dijelaskan tersebut maka dapat ditarik kesimpulan bahwa representasi matematis
sebagai kemampuan untuk mengungkapkan suatu ide matematika yang ditampilkan
dalam beberapa bentuk untuk mewakili situasi masalah sebagai cara dari
penyelesaian masalah dapat diukur melalui beberapa indikator kemampuan
representasi matematis diantaranya yaitu peserta didik dapat memvisualisasikan
ide matematika untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian,
peserta didik dapat membuat persamaan atau ekspresi matematis, dan dapat
menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika dengan menggunakan
kata-kata.
2.5
Contoh
Soal Pengembangan Kemampuan Representasi Matematis
Kemampuan
representasi matematis merupakan salah satu kemampuan yang sangat penting dalam
standar proses pembelajaran matematika. Hal tersebut karena apabila seseorang
mampu merepresentasikan suatu permasalahan matematika maka diharapkan orang
tersebut juga secara tidak langsung memiliki kemampuan pemecahan masalah
matematis, penalaran, koneksi dan komunikasi matematis yang baik. Dalam
implementasinya untuk mengukur suatu kemampuan representasi dalam pembelajaran
matematika di sekolah dasar maka dapat dibuatkan beberapa soal matematika
diantaranya seperti beberapa soal berikut ini.
2.5.1. Badut
sirkus memiliki dua hidung plastik berwarna merah dan biru. Dua telinga merah
besar dan dua telinga hijau yang besar. Berapa wajah luar yang dapat digambar
dengan hidung dan telinga tersebut jika warna telinga harus sama?
2.5.2. Menurutmu
apa yang akan terjadi terhadap luas daerah suatu bidang bangun datar jika
panjang sisinya menjadi dua kali panjang semula?
2.5.3. Di
kelas 5A setelah mengadakan ulangan akhir semester dari 15 orang siswa diperoleh
nilai sebagai berikut.
5, 7, 7, 8, 9, 6, 7, 5,
7, 8, 9, 9, 10, 10, 9
Sajikanlah data
tersebut ke dalam bentuk diagram batang atau lingkaran?
2.5.4. Ganang,
Rizki dan Paman Nurcahyo ingin pergi bersama-sama ke suatu pulau yang tidak
jauh dari rumah mereka. Tetapi mereka hanya mempunyai satu perahu kecil yang
hanya mampu memuat 80 kg. Ganang dan Rizki masing-masing mempunyai berat 40 kg
dan paman Nurcahyo memiliki berat 80 kg. Bagaimana mereka mencapai pulau
tersebut jika ingin menggunakan perahu?
2.6
Pengertian Kemampuan Berpikir Logis Matematis
Terdapat beberapa faktor yang menyebabkan
rendahnya hasil belajar peserta didik dalam mata pelajaran matematika.
Diantaranya cara penyampaian materi ajar oleh guru yang bersifat teacher-centered,
di mana peserta didik hanya mendengarkan dan menerima apa yang guru jelaskan
pada saat proses pembelajaran, sehingga peserta didik menjadi pasif. Kegiatan
pembelajaran yang demikian, dapat menyebabkan peserta didik menjadi pemikir
yang pasif dan tidak memiliki sikap kritis. Agar peserta didik menjadi pemikir
yang aktif, maka guru harus memfasilitasi peserta didik dengan membiasakan
mereka untuk berpikir logis dalam setiap kegiatan belajarnya.
Menurut Poespoprodjo (Putri, dkk., Tanpa tahun),
definisi dari berpikir adalah sebagai berikut.
Berpikir adalah berbicara dengan dirinya sendiri
di dalam batin, mempertimbangkan, merenungkan, menganalisis, membuktikan
sesuatu, menunjukkan alasan-alasan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan
pikiran, mencari berbagai hal yang berhubungan satu sama lain, mengapa atau
untuk apa sesuatu terjadi, serta membahas suatu realitas.
Serupa pula dengan pendapat
Surajiyo dan Andriani (Putri, dkk., Tanpa tahun), bahwa “Berpikir (thinking)
adalah serangkaian proses mental yang beraneka ragam, seperti mengingat-ingat
kembali, berkhayal, menghitung, menghubungkan beberapa pengertian, menciptakan
suatu konsep”. Dari pendapat tersebut, dapat disimpulkan bahwa berpikir
merupakan kegiatan yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu kesimpulan
tentang apa yang harus dilakukan.
Kata logis sendiri seringkali
muncul ketika argumen seseorang tidak relevan dengan kenyataan (tidak masuk
akal). Menurut Ibenk (2011), logis dalam matematika erat kaitannya dengan
penggunaan aturan logika atau materi ajar tentang logika dan penalaran. Logika
berasal dari bahasa Yunani kuno “logos” yang artinya hasil pertimbangan
akal pikiran yang diutarakan melalui kata-kata dan dinyatakan melalui bahasa.
Di mana dalam berlogika, dibutuhkan kecakapan untuk berpikir secara lurus,
teliti, tepat dan teratur, serta aturan-aturan yang harus diperhatikan untuk
dapat berpikir sesuai dengan aturan yang telah ditentukan sehingga diperoleh
suatu kebenaran.
Berdasarkan dari dua pengertian
mengenai berpikir dan logika, maka dapat disimpulkan bahwa berpikir logis
merupakan proses penggunaan penalaran secara konsisten dan teratur untuk
mengambil sebuah kesimpulan tentang apa yang harus dilakukan selanjutnya.
Adapun mengenai permasalahan atau situasi yang melibatkan pemikiran logis,
seperti mengharapkan struktur, hubungan antara fakta-fakta, dan menghubungkan
penalaran yang “dapat dipahami”. Dengan kata lain, berpikir logis dapat pula
diartikan sebagai suatu kegiatan berpikir untuk memperoleh suatu pengetahuan
menurut suatu pola atau logika tertentu. Sejalan dengan pendapat Albrecht
(Hidayat, 2014), bahwa berpikir logis atau berpikir runtun merupakan proses
mencapai kesimpulan mengggunakan penalaran secara konsisten.
2.7
Komponen Kemampuan Berpikir Logis Matematis
Capie
dan Tobin (Hidayat, 2014) mengukur kemampuan berpikir logis berdasarkan teori
perkembangan mental dari Piaget melalui Test
of Logical Thinking (TOLT) dengan meliputi lima komponen, yaitu ‘Mengontrol
variabel (controlling variable),
penalaran proporsional (proportional
reasoning), penalaran probabilistik (probabilistics
reasoning), penalaran korelasional (correlational
reasoning), dan penalaran kombinatorik (combinatorial
thinking)’. Kelima komponen tersebut dijelaskan oleh Setiawati (2014)
sebagai berikut.
2.7.1
Mengontrol variabel (controlling variable), merupakan
kemampuan menginterpretasikan informasi sebagai pengendali agar keterkaitan
antara variabel bebas dan terikat tidak dipengaruhi oleh hal-hal lain.
2.7.2
Penalaran proporsional
(proportional reasoning), merupakan
kemampuan menentukan nilai kuantitas berdasarkan nilai proporsi yang diberikan.
2.7.3
Penalaran probabilistik
(probabilistics reasoning), merupakan
kemampuan menentukan kemungkinan terjadinya suatu kejadian tertentu.
2.7.4
Penalaran korelasional
(correlational reasoning), merupakan
kemampuan menarik kesimpulan berdasarkan hubungan sebab-akibat dari
pernyataan-pernyataan yang diberikan.
2.7.5
Penalaran kombinatorik
(combinatorial thinking), merupakan
kemampuan dalam menetapkan seluruh alternatif yang mungkin dalam suatu
peristiwaatau kejadian tertentu.
2.8
Indikator
Kemampuan Berpikir Logis Matematis
Kemampuan berpikir logis pada dasarnya tidak pernah lepas dari pemikiran mengenai
realitas kehidupan. Berdasarkan realitas yang jelas, maka hal
tersebut akan mengantarkan seseorang pada proses berpikir yang dapat
menghasilkan suatu keputusan yang jelas pula. Untuk itu, Saragih (Sartika,
dalam Putri, dkk. 2012) mengemukakan tiga
indikator yang digunakan untuk menilai kemampuan berpikir logis, seperti di
bawah ini.
2.8.1. Hubungan
antara fakta. Hubungan antara fakta dimaksudkan sebagai permasalahan atau
situasi yang melibatkan pemikiran logis dan menghubungkan penalaran yang bisa
dipahami oleh orang lain.
2.8.2. Memberi
alasan. Bepikir logis merupakan
berpikir secara tepat dalam kerangka maupun materi. Dalam proses berpikir, peserta didik dituntut untuk
memberi alasan-alasan secara jelas.
2.8.3. Kemampuan
menyimpulkan. Untuk membuat sebuah karangan argumentasi, peserta didik harus bisa
berpikir logis dan menyimpulkan suatu pendapat.
Dari ketiga indikator di atas, maka dapat disimpulkan bahwa suatu
permasalahan matematika dalam penyelesaiannya perlu menggunakan fakta-fakta
dalam kehidupan nyata yang dapat dimengerti dan
dipahami dengan jelas. Dengan berpikir logis yang didasari oleh fakta-fakta
yang ada tersebut, maka akan mempermudah siswa dalam memberikan alasan terhadap
permasalahan matematika. Berdasarkan fakta dan alasan yang dibuat, maka dengan
berpikir logis juga peserta diidk dapat
menyimpulkan pendapatnya dengan jelas.
2.9
Contoh Soal untuk Mengembangkan Kemampuan Berikir Logis
Matematis
Berikut ini merupakan contoh soal yang dapat
mengembangkan kemampuan berpikir logis matematis.
2.9.1
Dari kain-kain bekas pabrik pakaian.
Pak Tito dalam sehari mampu membuat maksimal 8 buah keset dari 2 kg kain bekas
tersebut. Pada suatu hari ada dua orang memesan keset masing-masing 18 buah dan
10 buah.
1) Tentukan
berapa hari Pak Tito akan membuat pesanan keset tersebut?
2) Jika diketahui pada hari itu pak Tito memiliki 2 kg kain bekas, berapakah
jumlah (kg) kain bekas tambahan yang dibutuhkan pak Tito?
(Soal Proporsi)
Diketahui:
Maksimal pembuatan keset per hari
adalah 8 buah.
Total keset pesanan adalah 28 buah.
Jawab:
1)
Jumlah hari pembuatan keset
=
Jumlah keset pesanan/jumlah maksimal pembuatan keset perhari
= 28/8
= 3,5
Jadi, Pak
Tito akan membuat keset pesenan tersebut dalam 3,5 hari.
Jumlah
Kain Tambahan berapakah jumlah (kg) kain bekas tambahan yang dibutuhkan pak Tito?
2)
Jumlah
kain yg dibutuhkan secara keseluruhan
=
jumlah pesanan/jmlh maksimal keset dari 1 kg kain
=
28/4
= 7
Jadi pak Tito minimal membutuhkan 7
kg kain bekas.
Jika diketahui memiliki 2 kg kain
bekas, maka pak Tito harus menambah sebanyak minimal 5 kg lagi.
BAB III
PENUTUP
3.1
Simpulan
Representasi
matematis dapat disimpulkan sebagai ungkapan dari suatu ide matematika baik itu
masalah, pernyataan, definisi dan lainnya yang ditampilkan atau dicurahkan
melalui berbagai macam bentuk yang dipilih oleh peserta didik sebagai bentuk
yang mewakili situasi masalah guna menemukan solusi dari masalah tersebut dari
hasil interpretasi pemikirannya. Kemampuan representasi matematika ini dapat
mendukung peserta didik dalam memahami konsep matematika yang dipelajari
lengkap dengan keterkaitannya dengan kehidupan atau materi lainnya. Selain itu
representasi matematis juga digunakan sebagai alat dalam komunikasi matematis. Terdapat
tiga indikator kemampuan representasi matematis diantaranya visual berupa
diagram, grafik, tabel atau gambar, persamaan atau ekspresi matematis, dan kata-kata
atau teks tertulis.
Berpikir logis merupakan proses
penggunaan penalaran secara konsisten dan teratur untuk mengambil sebuah
kesimpulan tentang apa yang harus dilakukan selanjutnya. Adapun mengenai
permasalahan atau situasi yang melibatkan pemikiran logis, seperti mengharapkan
struktur, hubungan antara fakta-fakta, dan menghubungkan penalaran yang “dapat
dipahami”. Berpikir logis
pun memiliki indikator diantaranya hubungan antara fakta, memberi alasan, dan
kemampuan menyimpulkan. Selain itu, berpikir logis matematis memiliki bebrapa
komponen diantaranya yaitu mengontrol variabel, penalaran proporsional,
penalaran probabilistik, penalaran korelasional, dan penalaran kombinatorik.
3.2
Saran
Kemampuan
representasi matematis dan berpikir logis matematis peserta didik diharapkan
dapat dikembangkan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar. Sehingga
pembelajaran matematika dikelas sebaiknya memberikan kesempatan yang cukup bagi
peserta didik untuk melatih dan mengembangkan kemampuan representasi dan
berpikir logis matematis. Guru sebagai desainer pembelajaran harus mampu
menciptakan kondisi dan suasana belajar yang dapat melatih dan mengembangkan
kemampuan tersebut. Sehingga dengan suasana dan konteks pembelajaran yang
mendukung, diharapkan setelah pembelajaran selesai peserta didik dapat
mempunyai kemampuan representasi matematis dan berpikir logis matematis yang
dapat diimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Ibenk. (2011). Berpikir logis
dalam matematika. [Online]. Diakses dari:
http://blogibenk-ibenk.blogspot.com/2011/02/berpikir-logis-dalam.
Fadillah, S. (2008). Representasi dalam pembelajaran matematika.
[Online]. Diakses dari: http://fadillahatick.blogspot.co.id/2008/06/reoresentasi-matematik.html.
Hidayat,
W. (2014). Kemampuan berpikir logis
matematik. [Online]. Diakses dari:
http://wahyu-hidayat.dosen.stkipsiliwangi.ac.id/2014/07/kemampuan-berpikir-logis-matematik/.
Kartini. (2009). Peranan representasi dalam pembelajaran
matematika. [Online]. Diakses
dari: https://core.ac.uk/download/files/335/11064620.pdf.
Nurhayati, Y. (2013). Meningkatkan kemampuan representasi dan
berpikir kritis matematis siswa SMP melalui pendekatan pendidikan matematika
realistik. [Online]. Diakses
dari: http://repository.upi.edu/8264/3 /t_mtk_1009506_chapter2.pdf.
Putri, G. R. (Tanpa tahun). Hubungan
kemampuan berpikir logis dengan kemampuan menulis karangan argumentasi siswa
kelas X SMA Negeri 1 RAO Kabupaten Pasaman. [Online]. Diakses dari: http://ejournal.unp.ac.id /index.php/pbs/article/download/195/151.
Sabirin, M. (2014). Representasi dalam
pembelajaran matematika. JPM IAIN Antasari,
1 (2), hlm. 33-44. [Online].
Diakses dari: http://download.
portalgaruda.org/article.php?article=183173&val=6339&title=Representasi%20dalam%20Pembelajaran%20Matematika.
Samsul, Pahmi. (Tanpa tahun). Berpikir logis dan pembuktian dengan induksi
matematika. [Online]. Diakses
dsari: https://www.academia.edu/9925344 /Berfikir_Logis_dan_pembuktian_dengan_induksi_matematika.
Setiawati, E. (2014). BAB I Pendahuluan. [Online]. Diakses
dari: http://repository.upi.edu/6583/4/D_MTK_0907864_Chapter1.pdf.
Trisniawati. (2013). Makalah representasi matematis. [Online]. Diakses dari: http://trisniawati87.blogspot.co.id/2013/01/makalah-representasi-matematis.
html.
Yudhanegara, M.R. & Lestari,
K.E. (2014). Meningkatkan kemampuan representasi beragam matematis siswa
melalui pembelajaran berbasis masalah terbuka (penelitian kuasi eksperimen
terhadap siswa kelas VII SMPN 1 Pagaden, Subang). Jurnal Ilmiah Solusi, 1 (3), hlm. 76-85). [Online]. Diakses dari: http://digilib.unsika.ac.id/sites/default/files/File%
20Solusi/09.MENINGKATKAN%20KEMAMPUAN%20REPRESENTASI%20BERAGAM%20MATEMATIS%20SISWA%20MELALUI%20PEMBELAJARAN.pdf.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar